Redpoll's 60

第4章 3D空間におけるオブジェクトの運動

$§$4-1 自転と公転	$§$4-13 各階層における座標の計算 2 (ローカル座標からワールド座標への変換 3D)
$§$4-2 一体化したオブジェクトの運動 1	$§$4-14 一体化したオブジェクトの運動 5
$§$4-3 一体化したオブジェクトの運動 2	$§$4-15 一体化したオブジェクトの運動 6
$§$4-4 一体化したオブジェクトの運動 3	$§$4-16 一体化したオブジェクトの運動 7
$§$4-5 一体化したオブジェクトの運動 4	$§$4-17 一体化したオブジェクトの運動 8
$§$4-6 変換行列の分解	$§$4-18 一体化したオブジェクトの運動 9
$§$4-7 変換行列の可視化	$§$4-19 一体化したオブジェクトの運動 10
$§$4-8 ローカル座標系とワールド座標系 1	$§$4-20 指定方向へのオブジェクトの移動 1
$§$4-9 ローカル座標系とワールド座標系 2	$§$4-21 指定方向へのオブジェクトの移動 2
$§$4-10 ローカル座標系とワールド座標系 3	$§$4-22 衝突判定 1
$§$4-11 ローカル座標系が表すオブジェクトの状態	$§$4-23 衝突判定 2
$§$4-12 各階層における座標の計算 1	$§$4-24 衝突判定 3

$§$4-12 各階層における座標の計算 1

以下の図1から図3は、4-10節のCode4の実行結果である。
図1、図2、図3は、プログラムの実行結果をそれぞれ、ワールド座標系、Disk座標系、Arm座標系から見たときの様子である。

図1 4-10節 Code4 実行結果(ワールド座標系から見たときの様子)
図2 4-10節 Code4 実行結果(Disk座標系から見たときの様子)
図3 4-10節 Code4 実行結果(Arm座標系から見たときの様子)

この運動中、Diskにアタッチされている Armは、Disk座標系の中ではアタッチポジションである $(2, 0, 0)$ から動いていない(図2)。また、Armにアタッチされている Sphereもこの運動の間、Arm座標系の中ではアタッチポジションである $(5, 4, 0)$ から動いていない(図3)。
しかし、図1から明らかなように、ワールド座標系の中では Diskは上下に運動しているので、Diskと一体となって運動している Armや Sphereの位置も、ワールド座標系の中では変化する。
ここで、必然的に生じる問題として、Armや Sphereの位置はワールド座標系の中では変化しているが、それらの位置はどのようにして求めるのかといったことが挙げられる。

本節では、親子関係にある複数のオブジェクトに関して、ある階層のオブジェクトの、ある位置の座標を、別階層の座標系における座標に変換する問題について扱う。今までのプログラムでは、オブジェクトを親オブジェクトにアタッチする場合には、そのオブジェクトに対してアタッチポジションへの平行移動を実行したが、そのアタッチポジションは正確には、親座標系での座標である。ここで問題とするのは、アタッチポジションのような1つ上の親座標系で表される座標の、さらに上の親座標系での座標、あるいは最上位の座標系であるワールド座標系での座標の算出である。

A) 各階層における座標の計算

$N$個のオブジェクト、$Obj_1$, $Obj_2$, .. $Obj_N$ が親子関係にあるとする。図4に示されるように、$Obj_1$が最上位の親であり、$Obj_N$が一番下の子である。
各オブジェクトのローカル座標系を、$Obj_1$座標系、$Obj_2$座標系、... $Obj_N$座標系とし、各オブジェクトのローカル行列を、$localObj_1$、$localObj_2$、... $localObj_N$ とする。

$Obj_N$のある位置の座標を $P_N$ とする。$P_N$ は、$Obj_N$座標系での値である(以下の計算で使われる $P_1$、... $P_N$ は同次座標化されているものとする。すなわち、$(x, y, z, 1)$ の形)。
$Obj_N$の親座標系である $Obj_{N-1}$座標系での、$P_N$の値を $P_{N-1}$ とすれば、$P_{N-1}$ は次のように計算される。\[ P_{N-1} = localObj_{N} * P_{N} \]さらに1つ上の座標系である $Obj_{N-2}$座標系での、$P_N$の値を $P_{N-2}$ とすれば、$P_{N-2}$ は次のように計算される。\[ P_{N-2} = localObj_{N-1} * localObj_{N} * P_{N} \]$Obj_{N-3}$座標系での、$P_N$の値を $P_{N-3}$ とすれば、$P_{N-3}$ の計算も同様である。\[ P_{N-3} = localObj_{N-2} * localObj_{N-1} * localObj_{N} * P_{N} \]ワールド座標系での、$P_N$の値を $P_W$ とすれば、$P_W$ は次のように計算される。

\[ P_{W} = localObj_ {1} * localObj_{2} * \cdots * localObj_{N-1} * localObj_{N} * P_{N} \]

$Obj_N$のワールド行列を $worldObj_N$ とすれば、

\[ worldObj_N = localObj_ {1} * localObj_{2} * \cdots * localObj_{N-1} * localObj_{N} \]

であるから、結局 $P_W$ は次のように計算される。\[ P_W = worldObj_N * P_N \]

具体的に、$N = 3$ の場合を以下に示す。

$Obj_1$、$Obj_2$、$Obj_3$が親子関係にあり、図5のような階層構造になっているとする($Obj_1$が一番上の親である)。
$Obj_1$、$Obj_2$、$Obj_3$を一体化して運動させるプログラムを実装する場合は、以下のような記述になる。

[3つのオブジェクトを一体化して運動させる場合]

Matrix4x4 localObj3 = ...;  // Obj3に定義される変換
Matrix4x4 localObj2 = ...;  // Obj2に定義される変換
Matrix4x4 localObj1 = ...;  // Obj1に定義される変換

Matrix4x4 worldObj3 = localObj1 * localObj2 * localObj3;
Matrix4x4 worldObj2 = localObj1 * localObj2;
Matrix4x4 worldObj1 = localObj1;

Obj3.SetMatrix(worldObj3);
Obj2.SetMatrix(worldObj2);
Obj1.SetMatrix(worldObj1);

では、各階層における座標の計算について見ていこう。
$Obj_3$のある位置の座標を $P_3$ とする。$P_3$は$Obj_3$座標系での値である。
$Obj_3$の親座標系である$Obj_2$座標系での、$P_3$の値を $P_2$ とすれば、\[ P_{2} = localObj_{3} * P_{3} \]であり、$Obj_1$座標系での、$P_3$の値を $P_1$ とすれば、\[ P_{1} = localObj_{2} * localObj_{3} * P_{3} \]である。
ワールド座標系での、$P_3$の値を $P_W$ とすれば、\begin{align*}P_{W} &= localObj_{1} * localObj_{2} * localObj_{3} * P_{3} \\\\&= worldObj_3 * P_3 \end{align*}である。

また、$Obj_2$のある位置の座標を $Q_2$ とする。$Q_2$は$Obj_2$座標系での値である。
$Obj_1$座標系での、$Q_2$の値を $Q_1$ とすれば、\[Q_{1} = localObj_{2} * Q_{2} \]であり、ワールド座標系での、$Q_2$の値を $Q_W$ とすれば、\begin{align*}Q_{W} &= localObj_{1} * localObj_{2} * Q_{2} \\\\&= worldObj_2 * Q_2 \end{align*}である。

B) 具体例

では、実際にオブジェクトを用いて、各階層における座標の計算をしていこう。
使用するオブジェクトは、以下の3つである。

図6 Tent1 初期状態
図7 Tent2 初期状態
図8 Tent3 初期状態

図6から図8に示される四角錐形状のオブジェクト Tent1、Tent2、Tent3は、色が異なるのみで形、大きさはいずれも同じである。全頂点の内で 3つの頂点が赤、緑、青の小さな球になっており、それぞれの位置は初期状態で、赤 $(2, 0, 0)$、緑 $(0, 2, 0)$、青 $(0, 0, 2)$ である。

これら3つのオブジェクトには親子関係があり、Tent3の親オブジェクトが Tent2、Tent2の親オブジェクトが Tent1である(図9)。
以下では、Tent1のローカル座標系を Tent1座標系、Tent1のローカル行列を localTent1 と表記する(Tent2、Tent3についても同様である)。

# Code1

まずは、3つのオブジェクトに平行移動だけを実行する単純なケースである。

各オブジェクトに実行する変換は次の通り。
Tent3には親座標系である Tent2座標系において、z軸方向への $8$の平行移動を実行する。
Tent2には親座標系である Tent1座標系において、y軸方向への $8$の平行移動を実行する。
Tent1には親座標系であるワールド座標系において、x軸方向への $8$の平行移動を実行する。

[Code1] (実行結果図10、図11)

Matrix4x4 localTent3 = TH3DMath.GetTranslation4x4(0, 0, 8);
Matrix4x4 localTent2 = TH3DMath.GetTranslation4x4(0, 8, 0);
Matrix4x4 localTent1 = TH3DMath.GetTranslation4x4(8, 0, 0);

Matrix4x4 worldTent3 = localTent1 * localTent2 * localTent3;
Matrix4x4 worldTent2 = localTent1 * localTent2;
Matrix4x4 worldTent1 = localTent1;

Tent3.SetMatrix(worldTent3);
Tent2.SetMatrix(worldTent2);
Tent1.SetMatrix(worldTent1);

図10、図11は、このプログラムの実行結果をワールド座標系から見たときの様子である。
Tent1、Tent2、Tent3の底面の中心が、$(8, 0, 0)$、$(8, 8, 0)$、$(8, 8, 8)$ に移動している(底面の中心は、図10においては小さな白い球で表されている)。また、それらの位置は、各ローカル座標系の原点の位置でもある。図11には各オブジェクトのローカル座標系が表示されているが、Tent1座標系、Tent2座標系、Tent3座標系の原点の位置は、ワールド座標系において $(8, 0, 0)$、$(8, 8, 0)$、$(8, 8, 8)$ にある。
なお、図中のラベル x1、y1、z1は、Tent1座標系の x軸、y軸、z軸を表している。同様に、x2、y2、z2、x3、y3、z3は、Tent2座標系、Tent3座標系の x軸、y軸、z軸を表している (ここでも W(##, ##, ##) はワールド座標系における値を表している)。

では、A) で解説した各階層における座標の計算方法を、今回のプログラムの場合に適用して、上の図と同じ結果になることを確認する。今回のプログラムの実行によって各オブジェクトの底面の中心が、ワールド座標系においてどの位置に移ったか、つまり、各オブジェクトの底面の中心のワールド座標系における座標の計算である。

各オブジェクトのローカル行列は次の通り。

\[localTent1=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\qquad localTent2=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\qquad localTent3=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &8 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

底面の中心は初期状態で $(0, 0, 0)$ であるから、それぞれのオブジェクトの場合を計算すると次のようになる。

Tent1の底面の中心

\[localTent1 * \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}\]

Tent2の底面の中心

\[localTent1 * localTent2 * \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 \\8 \\ 0 \\1\end{pmatrix}\]

Tent3の底面の中心

\[localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &8 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 \\8 \\ 8 \\1\end{pmatrix}\]

3つとも図における数値と一致していることがわかる。
ただし、今回のようにローカル座標系の原点をワールド座標系などの他の親座標系での座標に変換するという場合には、上記のように、変換行列と原点を同次座標化したベクトルの積を計算しなくても、目的の座標を取得できる。
たとえば、Tent3の底面の中心のワールド座標系における座標の場合、以下のようにローカル行列の積は、

\[localTent1 * localTent2 * localTent3 =\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &8 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &8 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

であるが、この行列に対して原点を同次座標化したベクトル $(0, 0, 0, 1)$ を掛けることは、ただ行列の第4列目を取得するに過ぎない。つまり、ローカル座標系の原点を他の親座標系での座標に変換する場合には、上記で行ったような変換行列と原点の積をしなくても、変換行列の第4列目(変換行列の平行移動成分 ; 4-6節参照)から目的の値を取得できるのである。

次に、Tent2の緑色の頂点、Tent3の青色の頂点のワールド座標系における座標を計算する。
それらの座標は以下の図12、図13に示されている。

緑色の頂点座標は初期状態で $(0, 2, 0)$ であるから、プログラムの実行後のワールド座標系における Tent2の緑色の頂点座標は、

\[localTent1 * localTent2 * \begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 \\10 \\ 0 \\1\end{pmatrix}\]

となる (図12)。

青色の頂点座標は初期状態で $(0, 0, 2)$ であるから、プログラムの実行後のワールド座標系における Tent3の青色の頂点座標は、

\[localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &8 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 \\8 \\ 10 \\1\end{pmatrix}\]

となる (図13)。

次に、Tent2の緑色の頂点、Tent3の青色の頂点の Tent1座標系における座標を計算する。
それらの座標は以下の図14、図15に示されている(図における数値はすべて Tent1座標系での値であり、T₁(##, ##, ##) はTent1座標系での値を表している)。

プログラムの実行後の Tent1座標系における Tent2の緑色の頂点座標は、

\[localTent2 * \begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\10 \\ 0 \\1\end{pmatrix}\]

となる (図14)。

プログラムの実行後の Tent1座標系における Tent3の青色の頂点座標は、

\[localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &8 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\8 \\ 10 \\1\end{pmatrix}\]

となる (図15)。

# Code2

続いて、実行する変換内容をもう少し複雑にした場合で見てみよう。

各オブジェクトに実行する変換は次の通り。
Tent3には親座標系である Tent2座標系において、y軸周りの $90$°の回転、z軸方向への $8$の平行移動をこの順序で実行する。
Tent2には親座標系である Tent1座標系において、z軸周りの $90$°の回転、y軸周りの $90$°の回転、y軸方向への $8$の平行移動をこの順序で実行する。
Tent1には親座標系であるワールド座標系において、x軸周りの $-90$°の回転、x軸方向への $8$の平行移動をこの順序で実行する。

[Code2] (実行結果図16)

Matrix4x4 rotTent3 = TH3DMath.GetRotation4x4(90, Vector3.up);
Matrix4x4 traTent3 = TH3DMath.GetTranslation4x4(0, 0, 8);
Matrix4x4 localTent3 = traTent3 * rotTent3;

Matrix4x4 rotTent2 = TH3DMath.GetRotation4x4(90, Vector3.up) *
                TH3DMath.GetRotation4x4(90, Vector3.forward);
Matrix4x4 traTent2 = TH3DMath.GetTranslation4x4(0, 8, 0);
Matrix4x4 localTent2 = traTent2 * rotTent2;

Matrix4x4 rotTent1 = TH3DMath.GetRotation4x4(-90, Vector3.right);
Matrix4x4 traTent1 = TH3DMath.GetTranslation4x4(8, 0, 0);
Matrix4x4 localTent1 = traTent1 * rotTent1;

Matrix4x4 worldTent3 = localTent1 * localTent2 * localTent3;
Matrix4x4 worldTent2 = localTent1 * localTent2;
Matrix4x4 worldTent1 = localTent1;

Tent3.SetMatrix(worldTent3);
Tent2.SetMatrix(worldTent2);
Tent1.SetMatrix(worldTent1);

図16は、プログラムの実行結果をワールド座標系から見たときの様子である(図中における数値はすべてワールド座標系での値である)。
上の図10と同じように、表示されている座標はすべて各オブジェクトの底面の中心の座標である。各オブジェクトの底面の中心は、図においては小さな白い球で表されている。
Tent1の底面の中心の座標は $(8, 0, 0)$、Tent2は $(8, 0, -8)$、Tent3は $(16, 0, -8)$ である。

まずは、Tent2の青色の頂点、Tent3の赤色の頂点のワールド座標系における座標を計算する。
それらの座標は以下の図17、図18に示されている。

各オブジェクトのローカル行列は次の通り。

\[localTent1 = traTent1 * rotTent1=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &-1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &-1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

\[localTent2 = traTent2 * rotTent2=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

\[localTent3 = traTent3 * rotTent3=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &8 \\0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

座標計算に必要なローカル行列の積を以下に示す。

\[localTent1 * localTent2=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &-1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0 &1 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &-8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

\[localTent2 * localTent3=\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

\[localTent1 * localTent2 * localTent3=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &-1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &16 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 &-8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\]

青色の頂点座標は初期状態で $(0, 0, 2)$ であるから、プログラムの実行後のワールド座標系における Tent2の青色の頂点座標は、

\[localTent1 * localTent2 * \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0 &1 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &-8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 \\0 \\ -8 \\1\end{pmatrix}\]

となる。

赤色の頂点座標は初期状態で $(2, 0, 0)$ であるから、プログラムの実行後のワールド座標系における Tent3の赤色の頂点座標は、

\[localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}2 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &16 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 &-8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 \\0 \\ -8 \\1\end{pmatrix}\]

となる。

これらの結果は、確かに図17、図18に示される座標と一致している。

次に、Tent2の青色の頂点、Tent3の赤色の頂点の Tent1座標系における座標を計算する。
それらの座標は以下の図19、図20に示されている(図における数値はすべて Tent1座標系での値である)。

プログラムの実行後の Tent1座標系における Tent2の青色の頂点座標は、

\[localTent2 * \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\8 \\ 0 \\1\end{pmatrix}\]

となる。

プログラムの実行後の Tent1座標系における Tent3の赤色の頂点座標は、

\[localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}2 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\8 \\ 0 \\1\end{pmatrix}\]

となる。

前節では、プログラムの実行結果の図の中に、いくつかの位置については、各座標系での座標が表示されていたが、ここでは、それらの座標を実際に計算して求めてみよう。

以下のプログラムは、前節で使用した Beta2である。
[4-11節 Beta2] (実行結果図21、図22)

Matrix4x4 sclSphere = TH3DMath.GetScale4x4(1.5f);
Matrix4x4 traSphere = TH3DMath.GetTranslation4x4(c_attachPos_Sphere); // c_attachPos_Sphere : (5, 4, 0)
Matrix4x4 localSphere = traSphere * sclSphere;

Matrix4x4 rotArm = TH3DMath.GetRotation4x4(200, Vector3.up);
Matrix4x4 traArm = TH3DMath.GetTranslation4x4(c_attachPos_Arm); // c_attachPos_Arm : (2, 0, 0)
Matrix4x4 localArm = traArm * rotArm;

Matrix4x4 rotDisk = TH3DMath.GetRotation4x4(-15, Vector3.right);
Matrix4x4 traDisk = TH3DMath.GetTranslation4x4(0, 10, 0);
Matrix4x4 localDisk = traDisk * rotDisk;

Matrix4x4 worldSphere = localDisk * localArm * localSphere;
Matrix4x4 worldArm = localDisk * localArm;
Matrix4x4 worldDisk = localDisk;

Sphere.SetMatrix(worldSphere);
Arm.SetMatrix(worldArm);
Disk.SetMatrix(worldDisk);

図21、図22は、このプログラムの実行結果をワールド座標系から見たときの様子である(図中の数値はすべてワールド座標系での値である)。
図21には、オブジェクトの他に Arm座標系が表示されており、Arm座標系の各軸の長さは Arm座標系で測ったときに $8$となる (Arm座標系に表示されているXZ平面は$8\times8$のグリッドである)。
図22には、オブジェクトの他に Sphere座標系が表示されており、Sphere座標系の各軸の長さは Sphere座標系で測ったときに $3$となる (Sphere座標系に表示されているXZ平面は$3\times3$のグリッドである ; Sphere(及び Sphere座標系)は拡大されているのでワールド座標系で測ったときの各軸の長さは$3$ではない)。
ここで求めるのは、Arm座標系、Sphere座標系の各軸の先端座標のワールド座標系における値である (それらの値は図中にすでに表示されている)。

まずは、Arm座標系の各軸について計算する。
Arm座標系の各軸の先端座標は Arm座標系において、A-x軸 $(8, 0, 0)$、A-y軸 $(0, 8, 0)$、A-z軸 $(0, 0, 8)$ である。オブジェクトの階層構造は、図23の通りであるから、Arm座標系の親座標系が Disk座標系であり、Disk座標系の親座標系がワールド座標系である。
したがって、Arm座標系における座標P_A をワールド座標系の座標P_W に変換するためには、\[ localDisk * localArm * P_A = P_W \]を計算すればよい。

前節の終了部に示される計算結果から、

\begin{align*}localDisk * localArm =\begin{pmatrix}1.00 &0.00 &0.00 &0.00 \\ 0.00 &0.97 &0.26 &10.00 \\ 0.00 &-0.26 &0.97 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-0.94 &0.00 &-0.34 &2.00 \\ 0.00 &1.00 &0.00 &0.00 \\ 0.34 &0.00 &-0.94 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.94 &0.00 &-0.34 &2.00 \\ 0.09 &0.97 &-0.24 &10.00 \\ 0.33 &-0.26 &-0.91 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \end{align*}

であるから、各軸の先端座標は以下のように求められる。

A-x軸

\[localDisk * localArm * \begin{pmatrix}8 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0.94 &0.00 &-0.34 &2.00 \\ 0.09 &0.97 &-0.24 &10.00 \\ 0.33 &-0.26 &-0.91 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \begin{pmatrix}8 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5.52 \\10.71 \\2.64 \\1.00\end{pmatrix} \]

A-y軸

\[localDisk * localArm * \begin{pmatrix}0 \\ 8 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0.94 &0.00 &-0.34 &2.00 \\ 0.09 &0.97 &-0.24 &10.00 \\ 0.33 &-0.26 &-0.91 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 8 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2.00 \\17.73 \\-2.07 \\1.00\end{pmatrix} \]

A-z軸

\[localDisk * localArm * \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 8 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0.94 &0.00 &-0.34 &2.00 \\ 0.09 &0.97 &-0.24 &10.00 \\ 0.33 &-0.26 &-0.91 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 8 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0.74 \\8.05 \\-7.26 \\1.00\end{pmatrix} \]

これらの結果は確かに、図21の各軸に示されている値と一致している。

続いて、Sphere座標系の各軸について計算する。
Sphere座標系の各軸の先端座標は Sphere座標系において、S-x軸 $(3, 0, 0)$ 、S-y軸 $(0, 3, 0)$ S-z軸 $(0, 0, 3)$ である。Sphere座標系における座標P_S をワールド座標系の座標P_W に変換するためには、\[ localDisk * localArm * localSphere * P_S = P_W \]を計算すればよい。

前節の終了部に示される計算結果から、

\begin{align*}localDisk * localArm * localSphere&=\begin{pmatrix}1.00 &0.00 &0.00 &0.00 \\ 0.00 &0.97 &0.26 &10.00 \\ 0.00 &-0.26 &0.97 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-0.94 &0.00 &-0.34 &2.00 \\ 0.00 &1.00 &0.00 &0.00 \\ 0.34 &0.00 &-0.94 &0.00 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1.5 &0 &0 &5 \\ 0 &1.5 &0 &4 \\ 0 &0 &1.5 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix} \\\\&= \begin{pmatrix}-1.41 &0.00 &-0.51 &-2.70 \\ 0.13 &1.45 &-0.36 &14.31 \\ 0.50 &-0.39 &-1.36 &0.62 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \end{align*}

であるから、各軸の先端座標は以下のように求められる。

S-x軸

\[localDisk * localArm * localSphere *\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1.41 &0.00 &-0.51 &-2.70 \\ 0.13 &1.45 &-0.36 &14.31 \\ 0.50 &-0.39 &-1.36 &0.62 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6.93 \\14.70 \\2.10 \\1.00\end{pmatrix} \]

S-y軸

\[localDisk * localArm * localSphere *\begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1.41 &0.00 &-0.51 &-2.70 \\ 0.13 &1.45 &-0.36 &14.31 \\ 0.50 &-0.39 &-1.36 &0.62 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2.70 \\ 18.65 \\ -0.55 \\1.00\end{pmatrix} \]

S-z軸

\[localDisk * localArm * localSphere *\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1.41 &0.00 &-0.51 &-2.70 \\ 0.13 &1.45 &-0.36 &14.31 \\ 0.50 &-0.39 &-1.36 &0.62 \\ 0.00 &0.00 &0.00 &1.00\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4.24 \\13.21 \\-3.47 \\1.00\end{pmatrix} \]

やはり、これらの結果も図22に示される各軸の数値に一致している。

C) 異なる座標系へのベクトルの変換

今までは、ある座標系における座標を他の座標系での座標に変換するということについて見てきた。言い換えれば、異なる座標系への点の変換である。ここでは、ある座標系におけるベクトルを他の座標系で表す問題について扱う。つまり、異なる座標系へのベクトルの変換である。

図24には Tent3の初期状態が表示されている。座標系は Tent3のローカル座標系である Tent3座標系であり、図中の数値はすべて Tent3座標系での値である。図には赤色の頂点から、緑色の頂点へのベクトルが表示されている。赤色の頂点座標は $(2, 0, 0)$、緑色の頂点座標は $(0, 2, 0)$ なので、表示されているベクトルは\[ \begin{pmatrix}0 \\2 \\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\0 \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\2 \\0\end{pmatrix}\]である(図中では緑色の数値で示されている)。

では、上で使用したプログラム Code2実行後の、このベクトルのワールド座標系での値を求めてみよう(すなわち、Tent3座標系からワールド座標系へのベクトルの変換である)。
以下の図は、Code2の実行結果をワールド座標系から見たときの様子である。

図25は、Code2の実行結果を 3つのオブジェクトが見える位置にカメラを置いたときのものであり、図26は、Tent3にカメラを近づけて見たときのものである(図中の数値はすべてワールド座標系での値である)。図中に表示されている数値は、Tent3の赤色の頂点の座標が $(14, 0, -8)$、緑色の頂点の座標が $(16, 2, -8)$ で、赤色の頂点を始点とし、緑色の頂点を終点とするベクトルが $(2, 2, 0)$ であることを表している。

では実際に、計算によってそれらの値を求めてみよう。
上で述べたように、プログラム実行後のワールド座標系における Tent3の赤色の頂点座標は、

であり、同様の計算によって Tent3の緑色の頂点座標を計算すると、

\[localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &16 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 &-8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16 \\2 \\ -8 \\1\end{pmatrix}\]

となる。したがって、Tent3の赤色の頂点を始点とし、緑色の頂点を終点とするベクトルのワールド座標系における値は、\[ \begin{pmatrix}16 \\2 \\ -8 \\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}14 \\0 \\ -8 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\2 \\0\end{pmatrix}\]として求められる。
今行った計算では、Tent3座標系における赤色の頂点座標、及び緑色の頂点座標をワールド座標系における値に変換し、ワールド座標系における赤色の頂点座標と緑色の頂点座標から、目的のベクトルのワールド座標系における値を算出した。
具体的な計算式を示すと以下のようになる (計算結果の同次座標化されているベクトルの w値が $0$であることに注意)。

\[localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}-localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}2 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16 \\2 \\ -8 \\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}14 \\0 \\ -8 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\2 \\ 0 \\0\end{pmatrix}\]

この算出方法でも正しい答えは得られるが、行列の分配法則(3-7節)を使えば、より効率的に計算が行える。
分配法則によれば、3つの行列 $A$、$B$、$C$について次の等式が成り立つのであった (ただし積AB、積AC は可能であるとする)。
\[ A(B + C) = AB + AC \]したがって、ここでの例でいえば、上の計算式で使われている Tent3座標系の赤色、緑色の頂点座標を $4\times1$行列として考えれば、この分配法則を適用して、次のように書き換えられる。

\begin{align*}&localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}-localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}2 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix} \\\\&= localTent1 * localTent2 * localTent3 * \left(\begin{pmatrix}0 \\2 \\ 0 \\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\0 \\ 0 \\1\end{pmatrix} \right) \\\\&=localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}0 - 2 \\2 - 0 \\ 0 - 0 \\1 - 1\end{pmatrix} \\\\&=localTent1 * localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}-2 \\2 \\ 0 \\0\end{pmatrix} \\\\&=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &16 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 &-8 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\2 \\ 0 \\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 \\2 \\ 0 \\0\end{pmatrix} \end{align*}

この式は、Tent3座標系の座標をワールド座標系の座標に変換する行列($localTent1$ * $localTent2$ * $localTent3$)を Tent3座標系の赤頂点と緑頂点を結ぶベクトルに直接掛ければ、そのベクトルのワールド座標系における値が求められることを意味している。赤頂点、緑頂点のそれぞれをワールド座標系の値に変換する必要はないのである。上の式に示されるように、赤頂点と緑頂点を結ぶベクトルを直接 Tent3座標系の値からワールド座標系における値に変換することが可能なのである。
ただし、ベクトルの変換の場合は注意すべきことが1つある。
座標(あるいは点)の変換の場合は、その座標の同次座標化された値の w値は通常通り $1$であるが、ベクトルの変換の場合には、そのベクトルを同次座標化した際の w値は $1$ではなく $0$になることである。すなわち、ベクトルを異なる座標系での値に変換するために、その座標系への変換行列とベクトルの積を実行する際には、同次座標化されたベクトルの w値は $0$にして計算しなければならない。
その理由は、ベクトルの変換は結局のところ、2つの変換を行列の分配法則によって 1つの変換にまとめているためである。具体的には、上の数式の 1行目では、$(2, 0, 0, 1)$、$(0, 2, 0, 1)$ の2つの座標に対する変換が記述されているが、これを分配法則によって 2行目(あるいは3行目)の記述では $(-2, 2, 0, 0)$ の変換 1つにまとめている。この過程で 2つの座標の間で減算が行われているが、これが w値を $0$にすることになるのである。
繰り返せば、座標(あるいは点)の変換の場合は、その座標の同次座標化された値の w値は通常通り $1$であるが、ベクトルの変換の場合には、そのベクトルを同次座標化した際の w値は $1$ではなく、$0$である。上の計算において、$(-2, 2, 0, 0)$ ではなく $(-2, 2, 0, 1)$ を掛けても正しい答えは得られない。

続いて、この同じベクトル(図24に示される Tent3座標系のベクトル $(-2, 2, 0)$ )を、Code2実行後の Tent1座標系における値に変換する。上で見てきたように、Tent3座標系の座標を Tent1座標系の座標に変換する行列は $localTent2$ * $localTent3$ である。また、先ほど述べた通り、ベクトルを他の座標系での値に変換する際には、目的の座標系へ変換する行列を直接ベクトルに掛ければ求める答えが得られる。
ここで、変換対象としているベクトルは Tent3座標系のベクトル $(-2, 2, 0)$ で、Tent3座標系から Tent1座標系へ変換する行列は、$localTent2$ * $localTent3$ であるから、得られる結果は (上で述べたようにベクトルを変換する場合には同次座標化した際の w値は $0$にする必要がある)、

\[localTent2 * localTent3 * \begin{pmatrix}-2 \\2 \\ 0 \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &8 \\ 0 &0 &1 &8 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\2 \\ 0 \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\0 \\ 2 \\0\end{pmatrix}\]

となる。すなわち、Tent1座標系では $(2, 0, 2)$ という値になるが、この結果は図27に示される数値(緑色の数値)と確かに一致している。

異なる座標系へのベクトルの変換について、一般化した形で表現すると以下のようになる。
3D空間内の座標系$L_1$におけるベクトル $\boldsymbol{\mathsf{v_1}}$ の値を $L_1$と異なる他の座標系$L_2$での値に変換する際、座標系$L_1$から座標系$L_2$への変換行列を $M$、$M$の左上の$3\times 3$行列を $M_{3\times 3}$、$\boldsymbol{\mathsf{v_1}}$ の変換後の$L_2$での値を $\boldsymbol{\mathsf{v_2}}$ とすれば、\[ M_{3\times 3} * \boldsymbol{\mathsf{v_1}} = \boldsymbol{\mathsf{v_2}} \]である ($\boldsymbol{\mathsf{v_1}}$、$\boldsymbol{\mathsf{v_2}}$ は同次座標化されていない 3次元ベクトルである)。

ただし、後の章で解説するが、法線ベクトルの変換については事情が異なる。

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ローカル座標系が表すオブジェクトの状態

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各階層における座標の計算 2 (ローカル座標からワールド座標への変換 3D)